常用的等价无穷小有哪些

常用的等价无穷小包括：

1. 当 \\（ x \\to 0 \\） 时，以下无穷小是等价的：

- \\（ \\sin x \\sim x \\）

- \\（ \\tan x \\sim x \\）

- \\（ \\arcsin x \\sim x \\）

- \\（ \\arctan x \\sim x \\）

- \\（ \\ln（1+x） \\sim x \\）

- \\（ e^x - 1 \\sim x \\）

- \\（ a^x - 1 \\sim x \\ln a \\）（其中 \\（ a > 0 \\） 且 \\（ a \\neq 1 \\））

- \\（ 1 - \\cos x \\sim \\frac{1}{2} x^2 \\）

- \\（ x - \\ln（1+x） \\sim \\frac{1}{2} x^2 \\）

- \\（ x - \\sin x \\sim \\frac{1}{6} x^3 \\）

- \\（ \\arcsin x - x \\sim \\frac{1}{6} x^3 \\）

- \\（ \\tan x - x \\sim \\frac{1}{3} x^3 \\）

- \\（ x - \\arctan x \\sim \\frac{1}{3} x^3 \\）

2. 对于高阶无穷小，例如：

- \\（ \\sin x = x - \\frac{1}{6} x^3 + o（x^3） \\）

- \\（ \\cos x = 1 - \\frac{x^2}{2} + \\frac{x^4}{24} + o（x^4） \\）

- \\（ \\tan x = x + \\frac{1}{3} x^3 + o（x^3） \\）

- \\（ \\arcsin x = x + \\frac{1}{6} x^3 + o（x^3） \\）

- \\（ \\arctan x = x - \\frac{1}{3} x^3 + o（x^3） \\）

- \\（ \\ln（1+x） = x - \\frac{x^2}{2} + \\frac{x^3}{3} + o（x^3） \\）

- \\（ e^x = 1 + x + \\frac{1}{2} x^2 + \\frac{1}{6} x^3 + o（x^3） \\）

- \\（ （1+x）^a = 1 + ax + \\frac{a（a-1）}{2} x^2 + o（x^2） \\）

以上信息可以帮助在处理极限问题时简化计算。需要注意的是，等价无穷小替换只能在乘除中使用，加减使用时需要满足特定条件。

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